Sur les algèbres n-aires définies par les produits de Gerstenhaber
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چکیده
On étudie les algèbres définies par une multiplication n-aire donnée par les produits de Gerstenhaber. On montre que dans le cas où n est impair, il n’existe pas de cohomologie de type Hochschild (ou opéradique). On définit donc un nouveau complexe de cohomologie. On étudie également l’algèbre libre sur un espace vectoriel de dimension finie ce qui permet de construire l’opérade quadratique associée. 1 Les produits de Gerstenhaber Soit V un K-espace vectoriel où K est un corps commutatif de caractéristique 0. Considérons l’espace C(V ) = HomK(V , V ). Si f ∈ C(V ) et g ∈ C(V ) alors le produit de Gerstenhaber f •n,m g appartient à C (V ) et il est défini par : f •n,m g(X1 ⊗ · · · ⊗Xn+m−1) = n ∑ i=1 (−1)f(X1 ⊗ · · · ⊗ g(Xi ⊗ · · · ⊗Xi+m−1)⊗ · · · ⊗Xn+m−1) Ce produit vérifie l’identité de pré-Lie [voir Ge]: (f•n,mg)•n+m−1,ph−f•n,m+p−1(g•m,ph) = (−1) (m−1)(p−1) ((f •n,p h) •n+p−1,m g − f •n,n+p−1 (h •p,m g)) . Notations. Les produits de Gerstenhaber seront notés •n,k. Lorsque aucune ambiguité ne sera possible, on notera ces produits plus simplement •. Par ailleurs, le symbole ◦ sera réservé à la composition ordinaire des applications.
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